Naar de inhoud

Aardrijkskunde · 3 weken

Meet de aarde zoals Eratosthenes

Drie weken, één rechte stok en een rolmaat — en aan het eind weet je hoe groot de planeet is

Rond 240 voor Christus stond er in Egypte een man met een stok in de grond, en die rekende de omtrek van de aarde uit. Hij had geen satelliet, geen vliegtuig en geen enkel apparaat dat wij nu normaal vinden — alleen een schaduw, een afstand en een deling. Zijn naam was Eratosthenes, en hoe dicht hij erbij zat weten we niet precies — ergens tussen de 2% en de 16%, afhankelijk van hoe lang zijn maateenheid was. Jij gaat het hem nadoen. Je zet een stok rechtop in de tuin, je zoekt uit hoe laat de zon bij jou echt op zijn hoogst staat (verrassing: dat is niet om 12.00 uur), je meet de schaduw op de millimeter, en iemand in een andere stad doet op dezelfde dag precies hetzelfde. Uit het verschil tussen die twee schaduwen rolt een getal in kilometers waar je zelf van schrikt. Reken op een uitkomst die zo'n 10% naast de echte 40.075 km zit — en het mooiste van dit project is dat je aan het eind exact kunt uitrekenen wáár die 10% vandaan komt.

🧰 Wat je nodig hebt

  • • Een kaarsrechte stok of lat van ongeveer 1 meter — een vierkante tuinlat van 27 × 27 mm kost bij de bouwmarkt ± € 3, een bezemsteel ± € 5. Gratis alternatief: een oude bezemsteel uit de schuur, een skistok of een rechte tak. Voorwaarde: hij moet écht recht zijn, want een kromme stok liegt over zijn eigen hoogte.
  • • Een rolmaat van 3 of 5 meter, ± € 6 bij de bouwmarkt. Alternatief: het meetlint uit de naaidoos (gratis, maar controleer of het niet uitgerekt is) of een liniaal van 30 cm die je twee keer verlegt — dat kost je wel nauwkeurigheid, en nauwkeurigheid is in dit project alles.
  • • Stoepkrijt, ± € 2 bij de supermarkt. Op gras of grind werkt krijt niet: gebruik dan satéprikkers of tuinstokjes om je schaduwpunten te markeren.
  • • Iets om de stok waterpas rechtop te zetten. Een kleine waterpas kost ± € 5. Gratis alternatief: maak zelf een schietlood van een stuk touw met een moer, een zware sleutel of een setje ringen eraan — als je dat langs de stok laat hangen, moet het touw over de hele lengte tegen de stok aan blijven liggen.
  • • Een emmer met vochtig zand of een parasolvoet om de stok in te zetten, ± € 4 voor een zak zand. Alternatief: een gat van 20 cm graven, of de stok tussen twee stapels stenen klemmen. Voordeel van de emmer: je hoeft niets aan te punten of te zagen.
  • • Een rekenmachine met de tan⁻¹-knop (staat er soms als arctan, atan of shift-tan). De rekenmachine-app op een telefoon heeft die knoppen zodra je het scherm in liggende stand draait — gratis dus.
  • • Een klok of telefoon met de exacte tijd, en een notitieboekje met potlood. Losse briefjes waaien weg, en in dit project is een verloren getal een verloren week.
  • • Een meetmaatje in een andere stad: een opa, oom, neef of vriend zo ver mogelijk recht boven of onder je op de kaart. Die heeft alleen een rechte stok en een rolmaat nodig — kosten voor jou: één telefoontje.
  • • Optioneel voor week 2: een stukje stevig karton en een schaar om er een gaatje van 3 mm in te knippen, ± € 0. Waarom dat helpt lees je bij de tip van week 2.
  • • Totaal: koop je alles nieuw, dan zit je op ± € 20. Met een bezemsteel uit de schuur, een touwtje met een moer en een doosje krijt kom je weg met € 2.

⚠️ Voor de ouder: Voor de ouder — dit project heeft geen vuur, geen druk en geen chemie, maar er zijn vier dingen die u vooraf moet regelen. (1) Nooit in de zon kijken. Uw kind meet schaduwen, niet de zon, maar bij een project dat over 'de hoogte van de zon' gaat is de verleiding om even omhoog te kijken groot. Zelfs een paar seconden recht in de zon kijken kan blijvende schade aan het netvlies geven, en dat doet op het moment zelf geen pijn — je merkt het pas uren later. Eén ding is absoluut verboden, ook heel even: door een verrekijker, telescoop, vergrootglas of de zoeker van een camera naar de zon kijken. Daarmee is het netvlies binnen een seconde verbrand. Spreek dit hardop af vóór de eerste meting. (2) Zaag- en hamerwerk doet u, niet uw kind. Moet de lat korter, of aangepunt worden om hem de grond in te slaan, dan is dat uw klus. Beter nog: sla dat helemaal over en zet de stok in een emmer nat zand of een parasolvoet — dan hoeft er niets gezaagd of geslagen te worden. (3) De stok blijft weken staan, en het bovenste eind zit precies op oog- en gezichtshoogte van een kind. Zet hem daarom niet midden op een looppad of vlak naast een trampoline of schommel, en zet er een fietsvlaggetje of een stuk gekleurd tape omheen zodat hij in de schemer opvalt. Punt hem nooit aan. Blijf liever helemaal van scherpe uiteinden af: bolle bezemsteel of tuinlat, klaar. (4) Let op zon en hitte. Uw kind staat drie weken lang rond het heetste moment van de dag buiten, tussen 13.00 en 14.30 uur, en in week 1 ruim een uur aan één stuk. Doe een pet op, smeer de nek en de armen in met zonnebrandcrème en neem een fles water mee. Op een echte hittedag: laat uw kind op de meetdagen van week 2 in de schaduw wachten — het hoeft alleen even naar buiten om te meten, dat kost twee minuten.

Week 1

De ware middag vinden — en gratis het echte noorden erbij

Deze week zet je de stok neer en ontdek je op één zonnige middag iets wat bijna niemand weet: de zon staat bij jou niet om 12.00 uur op zijn hoogst. Je markeert ruim een uur lang elke tien minuten de punt van de schaduw en zoekt de kortste. Dat moment is jouw ware middag, en dat tijdstip heb je de rest van het project elke dag nodig. Als bonus krijg je er iets tastbaars bij: de lijn van je kortste schaduw wijst precies naar het noorden, nauwkeuriger dan een kompas.

  1. Zoek een plek die van 12.30 tot 14.30 uur helemaal in de zon ligt — een terras of tegelpad is ideaal. Loop dat de dag ervoor op precies die tijden na: een schaduw van het huis, de schutting of een boom die om 13.50 uur net over je stok valt, kost je de hele meetdag.
  2. Zet de stok rechtop in een emmer nat zand of een parasolvoet. Meet daarna met de rolmaat de hoogte van de grond tot de bovenkant van de stok, op de millimeter nauwkeurig, en schrijf hem op: bijvoorbeeld 100,0 cm. Dit getal is net zo belangrijk als je schaduwmeting.
  3. Controleer of de stok écht loodrecht staat. Houd de waterpas tegen twee kanten van de stok die een kwartslag uit elkaar liggen, of hang je zelfgemaakte schietlood langs de stok: het touw moet over de hele lengte tegen het hout aan blijven liggen, van boven tot beneden. Dit is de belangrijkste handeling van het hele project.
  4. Kies een dag met een strakblauwe lucht. Ga om 13.00 uur naar buiten en zet met stoepkrijt een kruisje op de punt van de schaduw. Schrijf de tijd erbij: 13.00.
  5. Herhaal dat elke 10 minuten tot 14.20 uur: 13.10, 13.20, 13.30, enzovoort. Je krijgt zo negen kruisjes op een rij, en je ziet met eigen ogen dat de schaduw eerst korter wordt en daarna weer langer.
  6. Meet nu van elk kruisje de afstand tot de voet van de stok en zet ze in een tabel: tijd in de ene kolom, schaduwlengte in cm in de andere. Zoek de kleinste: dat tijdstip is jouw ware middag.
  7. Trek met krijt een rechte lijn van de voet van de stok door dat kortste kruisje en verleng hem een paar meter. Die lijn wijst naar het echte noorden. Leg er een telefoon met kompas-app naast: die zal er zo'n 2 à 3 graden naast wijzen, want een kompas zoekt het magnetische noorden — jouw krijtlijn is nauwkeuriger dan de naald.

📏 Noteer: Noteer deze week drie dingen. Eén: de hoogte van je stok in cm, op de millimeter. Twee: je tabel met negen tijden en negen schaduwlengtes. Drie: het tijdstip van je kortste schaduw — jouw ware middag — plus die kortste lengte zelf. Teken er ook een grafiekje bij met de tijd horizontaal en de schaduwlengte verticaal: je krijgt een mooie dalende-en-weer-stijgende boog met een duidelijk laagste punt.

💡 Let op: Twee dingen gaan mis, en allebei zijn ze te voorkomen. Ten eerste zoekt bijna iedereen op het verkeerde moment. De ware middag ligt in Nederland in juni rond 13.40 uur, niet rond 12.00 uur, en dat heeft twee oorzaken die je gewoon kunt optellen: de zomertijd schuift de klok een uur op, en Nederland ligt aan de westrand van zijn tijdzone, wat nog eens ruim een half uur scheelt. Zit je in het oosten van het land, dan is jouw ware middag een paar minuten eerder dan in Zeeland — per graad naar het oosten precies 4 minuten. Ten tweede is er de scheve stok. Zet je hem 1 graad uit het lood, dan verandert je schaduw al ruim 2 cm. Het hele verschil dat je in week 3 tussen twee steden gaat meten is maar 5 cm — met een scheve stok meet je dus vooral je eigen slordigheid.

Week 2

Elke dag meten, en je meetmaatje 260 km verderop

Nu je weet hoe laat je moet zijn, wordt meten een klusje van twee minuten per dag. Je meet vijf dagen achter elkaar op jouw ware middag de schaduw, zodat je een slechte meting eruit kunt gooien in plaats van erop te moeten vertrouwen. Tegelijk regel je het belangrijkste onderdeel van het hele project: iemand in een andere stad die op dezelfde dag precies hetzelfde doet. Zonder tweede meetpunt heb je een mooie schaduwtabel, maar geen aarde.

  1. Bel of app je meetmaatje en kies samen een dag. Hoe verder hij recht boven of onder je woont, hoe groter het verschil dat je meet. Ongeveer het maximum binnen Nederland is Leeuwarden ↔ Maastricht: 261 km hemelsbreed, en die twee liggen toevallig ook nog bijna precies op dezelfde lijn noord-zuid (5,8° en 5,7° oosterlengte). Lukt dat niet, dan is 150 km ook prima — je meting wordt alleen gevoeliger voor fouten.
  2. Stel hem gerust: zijn stok hoeft níét even lang te zijn als die van jou. Je rekent straks met de verhouding schaduw ÷ stok, en die verhouding is voor elke stoklengte hetzelfde. Hij noteert dus twee getallen, allebei in cm op de millimeter: de hoogte van zijn stok en de lengte van zijn schaduw.
  3. Laat hem eerst zijn eigen ware middag zoeken, precies zoals jij in week 1 deed. Ligt hij ongeveer recht boven of onder je, dan scheelt dat maar seconden; ligt hij een stuk oostelijker, dan is zijn ware middag 4 minuten eerder per graad oosterlengte.
  4. Spreek meteen drie reservedagen af. De kans dat het bij jullie allebéí op dezelfde dag helder is, is in Nederland niet groot — en je hebt maar één gezamenlijke zonnige dag nodig.
  5. Meet zelf vijf dagen achter elkaar op je ware middag de schaduwlengte, en meet elke keer ook opnieuw de hoogte van je stok: in een emmer zand zakt hij ongemerkt een centimeter weg. Noteer erbij of de lucht strak blauw was of heiig, want bij heiigheid is de schaduwrand veel vager.
  6. Reken van elke meetdag alvast de verhouding schaduw ÷ stok uit, op drie decimalen. Meet je vlak bij 21 juni, dan verandert er van dag tot dag bijna niets en horen je vijf getallen dicht bij elkaar te liggen; springt er één 2 cm uit, dan is er die dag iets gebeurd en zoek je uit wat. Meet je in mei of augustus, dan zie je een langzame trend van bijna een centimeter per dag — dat is niet jouw slordigheid maar de zon die klimt of zakt, en dat is precies waarom jij en je meetmaatje op dezelfde dag moeten meten.
  7. Zoek de afstand op. Open een kaart-app, zet een speld op jouw stok en één op de stok van je meetmaatje en lees de afstand hemelsbreed af. Niet de rijafstand nemen — die is door bochten en omwegen al gauw 20 tot 30% langer, en dan komt jouw aarde er meteen een kwart te groot uit.

📏 Noteer: Noteer van vijf eigen meetdagen: datum, tijd, stokhoogte, schaduwlengte en de verhouding schaduw ÷ stok. Noteer daarnaast, van de gezamenlijke dag, de drie getallen van je meetmaatje: zijn stokhoogte, zijn schaduwlengte en zijn verhouding. En zoek één getal op: de hemelsbrede afstand tussen jullie twee stokken, in kilometers.

💡 Let op: De punt van je schaduw is geen streepje maar een vaag randje van ruim een centimeter breed. Dat komt niet doordat je stok slecht is, maar doordat de zon geen punt is maar een schijf van ruim een halve graad breed — de ene rand van de zon werpt zijn schaduw net iets verder dan de andere. Meet daarom altijd naar het midden van dat vage randje en laat je meetmaatje dat óók doen. Pakt de één de donkere kant en de ander de lichte kant, dan verzin je zomaar een halve graad verschil — en een halve graad is in dit project een fout van 20% in de omtrek van de aarde. Wil je het scherper: knip een stukje karton met een gaatje van 3 mm erin en plak dat plat op de bovenkant van je stok. In plaats van een vage schaduwpunt krijg je dan een helder lichtvlekje op de tegels, en het midden daarvan vind je veel makkelijker terug. Laatste valkuil: de meetdag. Jij en je meetmaatje meten op dezelfde dag, punt — daar staat of valt dit project mee, en precies daarvoor spreek je die drie reservedagen af. Is het op geen van jullie afgesproken dagen bij allebei helder, dan schuiven jullie samen door naar een nieuwe dag; ieder op een eigen dag meten is geen alternatief. In mei of augustus schuift je schaduw bijna een centimeter per dag op, en twee dagen verschil is dan al snel meer dan een halve graad zonhoogte — precies de halve graad die hierboven al 20% kostte. Binnen die ene dag mag het tijdstip wel iets schuiven, maar minder dan je denkt: vijf minuten naast je ware middag kost je nog geen halve millimeter, maar een kwartier ernaast is al 3 mm, en 3 mm is precies de fout die in het rekenblok hieronder de aarde 4.000 kilometer kleiner maakt. Mik dus op vijf minuten rond je ware middag, en laat je meetmaatje dat ook doen.

Week 3

Van twee schaduwen naar de omtrek van de planeet

Deze week gebeurt het. Je zet je twee schaduwverhoudingen om in twee hoeken, je trekt ze van elkaar af en dat kleine verschil van een paar graden vertelt je hoe ver jullie twee stokken over de bolle aarde uit elkaar staan. Dan is het nog één deling en één vermenigvuldiging tot een getal in kilometers. Daarna komt het eerlijke deel: vergelijken met de echte 40.075 km en precies uitrekenen hoeveel millimeter meetfout jouw afwijking verklaart.

  1. Pak van je vijf meetdagen alleen de dag waarop ook je meetmaatje gemeten heeft. De andere vier gebruik je straks om te kijken hoeveel je metingen onderling schommelen.
  2. Zet je rekenmachine op DEG (graden), niet op RAD. Doe je dat niet, dan komt er een hoek van 0,52 uit in plaats van 29,8 en klopt er verder niets meer. Controle: tan⁻¹(1) moet 45 geven.
  3. Reken jouw zonhoek uit: toets de verhouding schaduw ÷ stok in en druk op tan⁻¹. Dit is de hoek tussen 'recht omhoog' en de zon — hoe langer je schaduw, hoe schuiner de zon staat.
  4. Reken de zonhoek van je meetmaatje op precies dezelfde manier uit, met zíjn stok en zíjn schaduw.
  5. Trek de kleinste hoek van de grootste af. Wat je overhoudt is niet zomaar een verschil: het is de hoek tussen jullie twee stokken, gemeten vanuit het middelpunt van de aarde. De zonnestralen komen namelijk evenwijdig binnen — dat jullie schaduwen verschillen kán alleen doordat de grond onder jullie gekromd is.
  6. Deel 360° door dat hoekverschil. De uitkomst zegt hoe vaak jullie stukje aarde in een hele rondgang past. Vermenigvuldig dat getal met de afstand in kilometers en je hebt de omtrek van de aarde.
  7. Vergelijk met 40.075 km en reken je afwijking uit in procenten. Reken daarna terug: welk hoekverschil zou het juiste antwoord hebben gegeven, hoeveel graden zat je ernaast, en hoeveel millimeter schaduw is dat? Dat laatste getal is de mooiste uitkomst van je hele project.

📏 Noteer: Schrijf op: jouw zonhoek in graden, de zonhoek van je meetmaatje, het hoekverschil, de afstand in km, jouw omtrek van de aarde in km, en de afwijking ten opzichte van 40.075 km in procenten. Sluit af met één zin over waar je grootste fout vandaan komt — en wees streng: 'meetfout' is geen antwoord, 'ik heb de vage schaduwrand aan de donkere kant gemeten en mijn meetmaatje aan de lichte kant' wel.

💡 Let op: Zit je uitkomst er 5 tot 20% naast, dan is dat volkomen normaal en heb je het goed gedaan — dat is precies wat een stok, een rolmaat en een vage schaduwrand je kunnen geven. Zit je er een factor 2 of meer naast, dan is er iets structureels mis, en het is bijna altijd één van deze vier: je rekenmachine stond op RAD in plaats van DEG; je hebt stokhoogte in cm en schaduw in mm door elkaar gehaald; je hebt de rijafstand van de kaart-app gebruikt in plaats van de hemelsbrede; of jullie twee steden liggen niet boven elkaar maar naast elkaar. Dat laatste is de sluipmoordenaar: ligt je meetmaatje vooral óóstelijk van je, dan telt die hele oost-westafstand mee in je kilometers terwijl hij niets bijdraagt aan je hoekverschil, en dan komt de aarde er veel te groot uit.

Kies een profiel om je voortgang te bewaren — meelezen en meedoen kan altijd.

🧮 Van schaduw naar hoek, en van hoek naar de omtrek van de aarde

Het zijn twee sommen, en samen zijn ze de hele truc van Eratosthenes. De eerste vertaalt iets wat je kunt meten (een schaduw naast een stok) naar iets wat je nodig hebt (een hoek). Stok en schaduw vormen samen met de zonnestraal een rechthoekige driehoek: de stok staat rechtop, de schaduw ligt plat, en de verhouding tussen die twee is precies de tangens van de hoek waaronder de zon van 'recht boven je' afwijkt. Met tan⁻¹ draai je dat om en krijg je de hoek terug. Fijne bijkomstigheid: omdat het om een verhouding gaat, maakt de lengte van de stok niet uit — jij mag 100 cm gebruiken en je meetmaatje 84 cm. De tweede som is de sprong van jouw tuin naar de planeet. De zon staat zó ver weg dat zijn stralen op aarde evenwijdig binnenkomen. Op een platte aarde zouden twee rechtopstaande stokken dus exact dezelfde schaduw geven, hoe ver ze ook uit elkaar stonden. Ze geven een verschillende schaduw, en dat kán maar één ding betekenen: de grond kromt tussen jullie in. Het hoekverschil dat je meet is precies de hoek die jullie twee stokken maken vanuit het middelpunt van de aarde. En dan is het simpele verhoudingen: past jouw hoekje 138 keer in een volle 360°, dan past jouw afstand 138 keer in de omtrek.

zonhoek θ = tan⁻¹(schaduwlengte ÷ stokhoogte) → omtrek aarde = 360° ÷ (θ_noord − θ_zuid) × afstand noord-zuid

Meetdag: 21 juni, allebei op de eigen ware middag. Meetpunten: Leeuwarden en Maastricht, hemelsbreed 261 km uit elkaar en bijna precies boven elkaar op de kaart. De ruwe metingen: Leeuwarden — stok 100,0 cm, schaduw 57,3 cm Maastricht — stok 84,0 cm, schaduw 43,2 cm (andere stoklengte, dat mag) Stap 1 — verhouding Leeuwarden: 57,3 cm ÷ 100,0 cm = 0,573 Stap 2 — hoek Leeuwarden (rekenmachine op DEG): θ_noord = tan⁻¹(0,573) = 29,8° Stap 3 — verhouding Maastricht: 43,2 cm ÷ 84,0 cm = 0,514 Stap 4 — hoek Maastricht: θ_zuid = tan⁻¹(0,514) = 27,2° Stap 5 — het hoekverschil, oftewel de hoek tussen de twee stokken vanuit het middelpunt van de aarde: 29,8° − 27,2° = 2,6° Stap 6 — hoe vaak past dat hoekje in een volle cirkel? 360° ÷ 2,6° = 138,5 Stap 7 — dus past de afstand tussen Leeuwarden en Maastricht 138,5 keer in de omtrek: 138,5 × 261 km = 36.148 km ≈ 36.100 km Stap 8 — vergelijken met de echte omtrek van 40.075 km: 40.075 km − 36.100 km = 3.975 km te weinig 3.975 km ÷ 40.075 km × 100% = 9,9% Je zit er dus bijna 10% naast, en je aarde is te klein uitgevallen. Nu komt het leukste deel: uitrekenen hoe klein je fout eigenlijk was. Stap 9 — welk hoekverschil hoort bij het juiste antwoord? 360° × 261 km ÷ 40.075 km = 2,34° Je mat 2,6°, dus je zat 2,6° − 2,34° = 0,26° te hoog. En doordat het hoekverschil ónder de deelstreep staat, maakt een te grote hoek je aarde te klein. Stap 10 — hoeveel schaduw is 0,26°? Bij een stok van 100 cm en een zonhoek van rond de 30° verandert de schaduw ongeveer 2 cm per graad. 0,26° × 2 cm = 0,5 cm, en die fout is verdeeld over twee metingen. Dat is dus zo'n 2 à 3 millimeter per meting. Daar staat het: 3 millimeter verkeerd afgelezen op een terras in Leeuwarden maakt de aarde 4.000 kilometer kleiner. Dat is geen slecht nieuws maar de belangrijkste les van het project. Je hebt niet gefaald — je hebt gemeten hoe gevoelig je meting is, en dat is iets wat je alleen leert door het zelf te doen. Reken er trouwens op dat jouw uitkomst er niet precies 9,9% naast zit maar ergens tussen de 5 en de 20%, in de ene of de andere richting. De grootste boosdoeners zijn, op volgorde: de vage schaduwrand van ruim een centimeter breed (goed voor makkelijk 0,3°), een stok die een halve graad uit het lood staat, en een afstand van de kaart-app die net niet zuiver noord-zuid loopt. Eratosthenes zelf kwam uit op 250.000 stadiën, en omdat we niet zeker weten hoe lang zijn stadie precies was, zat hij er ergens tussen de 2% en de 16% naast — vermoedelijk dus niet eens veel beter dan jij.

🏁 Wat je nu weet

Je hebt met een stok, een rolmaat en een deling iets gemeten wat je onmogelijk kunt zien: de omtrek van de bol waar je op staat. En je hebt daarvoor geen enkele nieuwe natuurkunde nodig gehad — alleen het besef dat evenwijdige zonnestralen op twee plekken alleen verschillende schaduwen kúnnen geven als de grond ertussen krom is. Dat is de kern van dit project: je hebt een gigantische afstand bepaald door één klein hoekje te meten en één bekende afstand te gebruiken. Die truc heeft een naam — driehoeksmeting — en hij zit overal. De hele Nederlandse landmeting draait erop: sinds 1802 is het land opgedeeld in een net van driehoeken tussen kerktorens, en elk adres in Nederland heeft nog steeds een Rijksdriehoekscoördinaat die daaruit voortkomt. Astronomen doen precies hetzelfde om de afstand tot sterren te bepalen: ze meten een ster in januari en nog eens in juli, als de aarde aan de andere kant van haar baan staat, en uit het piepkleine hoekverschil rolt een afstand in lichtjaren. Dat heet parallax, en het is jouw twee-stokken-truc met de aardbaan als afstand tussen de meetpunten. En je hebt nog iets geleerd wat minstens zo veel waard is: dat een meting zonder foutenschatting geen meting is. Je weet nu niet alleen dat de aarde ongeveer 36.000 of 44.000 kilometer om is — je weet ook precies hoeveel millimeter je verkeerd hebt afgelezen om daar te komen.

🚀 Nog een stap verder: Zet je stok in september nog één keer neer, rond 22 september. Dat is de herfstequinox: de dag dat de zon precies boven de evenaar staat. Meet die dag op je ware middag opnieuw de schaduw en reken de zonhoek uit met dezelfde tan⁻¹-som. Er gebeurt dan iets moois: op de equinox is jouw zonhoek precies gelijk aan je breedtegraad. Meet je bijvoorbeeld 52,1°, dan woon je op 52,1° noorderbreedte — kijk maar na in een kaart-app, je zit er waarschijnlijk minder dan een halve graad naast. En dan de tweede vondst: trek je junimeting van je septembermeting af, dus bijvoorbeeld 52,1° − 29,8° = 22,3°, dan heb je de scheefstand van de aardas gemeten. De echte waarde is 23,44°, dus met 22,3° zit je er zo'n 5% naast. Die scheefstand van de as is de enige reden dat er seizoenen zijn — stond de as recht, dan was het hier het hele jaar hetzelfde weer. Met één stok in de tuin heb je dan in drie metingen de omtrek van de aarde, je eigen breedtegraad én de oorzaak van de winter te pakken.