Een computer van papier

Je ontdekt dat je met vijf kaarten die alleen maar 'aan' of 'uit' kunnen staan, 32 verschillende getallen kunt maken. Dat is precies wat er in een computer gebeurt: geen cijfers 0 tot 9, maar schakelaars die aan of uit staan. Aan het eind van deze week heb je een goocheltruc waarmee je iedereen in huis voor gek zet — en je weet precies waarom hij werkt.

1. 1Knip vijf kaarten van ongeveer 10 × 15 cm uit dun karton. Zet op de eerste 1 stip, op de tweede 2, op de derde 4, op de vierde 8 en op de vijfde 16. Schrijf het getal er klein bij in een hoek.
2. 2Leg de kaarten op een rij met 16 links en 1 rechts. Stippen omhoog betekent 'aan' (1), kaart omgedraaid betekent 'uit' (0). Maak nu 13: draai 8, 4 en 1 aan (8 + 4 + 1 = 13) en de rest uit.
3. 3Tel hardop van 0 naar 31 door telkens de goede kaarten om te draaien. Let op het ritme: de kaart met 1 stip draait bij élk getal, de kaart met 2 om de twee getallen, de kaart met 4 om de vier. Turf hoeveel keer je in totaal een kaart omdraait van 0 tot 31.
4. 4Schrijf een tabel over van 0 t/m 31 met vijf kolommen (16, 8, 4, 2, 1) en zet in elk vakje een 0 of een 1. Zo ziet 13 eruit als 01101 en 31 als 11111. Dit is de binaire schrijfwijze, en deze tabel heb je de rest van het project nodig — bewaar hem.
5. 5Maak nu vijf truckaarten. Op truckaart '1' schrijf je alle getallen uit je tabel met een 1 in de kolom van 1 (dus 1, 3, 5, 7 … 31). Op truckaart '2' alle getallen met een 1 in de kolom van 2, enzovoort tot truckaart '16'. Controleer: op elke kaart staan precies 16 getallen.
6. 6Doe de truc. Laat iemand in stilte een getal tussen 1 en 31 kiezen. Laat de vijf truckaarten één voor één zien en vraag alleen: 'staat je getal hierop?' Tel de kopgetallen van de kaarten waarop het staat bij elkaar op — dat is zijn getal. Doe hem drie keer bij drie verschillende mensen.

📏 Noteer: Maak een tabel met vier kolommen: aantal kaarten (1 t/m 5), hoeveel verschillende getallen je ermee kunt maken (2, 4, 8, 16, 32), het hoogste getal (1, 3, 7, 15, 31) en het patroon dat je ziet. Noteer daarnaast hoeveel kaartomdraaiingen je nodig had om van 0 naar 31 te tellen, en hoeveel seconden dat duurde. Voorspel tot slot met je patroon: hoeveel getallen maak je met 10 kaarten, en wat is dan het hoogste?

💡 Let op: Bijna iedereen legt de kaarten per ongeluk andersom neer, met de 1 links. Dat werkt op zich prima, maar houd het hele project dezelfde volgorde aan (16 links, 1 rechts) — anders klopt je optelmachine van week 2 straks niet en zoek je een half uur naar een fout die er niet is. Bij het overschrijven van de truckaarten is de standaardfout een vergeten getal; tel daarom na afloop op elke kaart: precies 16, geen 15. Reken erop dat je bij het tellen van de omdraaiingen een paar keer de tel kwijtraakt — de theorie zegt 57 en als jij op 54 of 60 uitkomt, heb je gewoon een paar snelle draaien gemist, niet een verkeerd systeem.

Een processor telt niet op zoals jij op school leerde. Hij kijkt per kolom naar drie bits en zoekt het antwoord op in een tabel van acht regels — meer kan hij niet. Deze week bouw je die machine na van papier en een schuifvenster, en je voert hem met de hand uit. Aan het eind meet je je eigen klokfrequentie in hertz.

1. 1Knip acht stroken van 3 cm hoog uit de lengte van je A4'tjes (dus 3 × 29,7 cm) en plak ze twee aan twee aan elkaar tot vier stroken van ongeveer 55 cm. Je hebt er vier nodig: een voor het onthouden (carry), een voor getal A, een voor getal B en een voor de uitkomst S. Verdeel elke strook met liniaal en potlood in tien vakjes van 5 cm en leg ze in die volgorde onder elkaar met een halve centimeter ruimte ertussen. Samen zijn ze dan ongeveer 14 cm hoog — precies de hoogte van het schuifvenster dat je zo maakt.
2. 2Maak de opzoektabel op een apart kaartje. Acht regels, telkens 'a b onthoud → som, nieuw onthoud': 000 → 0,0 · 001 → 1,0 · 010 → 1,0 · 011 → 0,1 · 100 → 1,0 · 101 → 0,1 · 110 → 0,1 · 111 → 1,1. Meer regels bestaan er niet, want met drie bits kun je maar acht combinaties maken (2 × 2 × 2 = 8).
3. 3Knip het schuifvenster: vouw een kaartje van 8 × 20 cm dubbel tot 8 × 10 cm en knip vanuit de vouw een gat van 5 cm breed en 7 cm diep. Vouw je het open, dan heb je een venster van 5 × 14 cm — groot genoeg om precies één kolom van alle vier de stroken tegelijk te zien, en smal genoeg om de buurkolommen af te dekken.
4. 4Schrijf twee getallen binair op, uit je tabel van week 1, netjes rechts uitgelijnd: A = 173 wordt 10101101 en B = 92 wordt 01011100. Zet in het meest rechtse onthoud-vakje een 0 — de machine begint altijd zonder onthouden.
5. 5Schuif het venster naar de rechtse kolom. Lees a, b en het onthoud, zoek de regel op in je tabel, schrijf de som in de S-strook en het nieuwe onthoud in het onthoud-vakje van de kolom links ervan. Schuif één vakje naar links en herhaal, tot en met de negende kolom waar alleen nog een onthoud staat.
6. 6Controleer je uitkomst: er hoort 100001001 te staan, en dat is 256 + 8 + 1 = 265. En 173 + 92 = 265 ✓. Doe daarna nog twee sommen, waarvan één met veel onthouden (bijvoorbeeld 01111 + 00001 = 10000, oftewel 15 + 1 = 16).
7. 7Klok met de stopwatch hoe lang je dérde som duurt, van eerste kolom tot laatste. Deel die tijd door het aantal kolommen waarin je écht een regel in de tabel hebt opgezocht — dat is het aantal bits van je getallen. De laatste kolom telt niet mee: daar schreef je alleen een onthoud over. Bij een achtbits-som deel je dus door 8 en niet door 9. Dat is jouw tijd per stap in seconden.

📏 Noteer: Noteer per som: hoeveel bits het waren, hoeveel kolommen je schuifvenster langsging (dat is er altijd één meer), hoeveel keer je de tabel moest opzoeken (dat is precies het aantal bits), hoeveel seconden het geheel duurde en hoeveel seconden dat per opzoeking is. Reken daarna je klokfrequentie uit: 1 ÷ (seconden per stap) = stappen per seconde, in hertz. Bewaar dat getal — je hebt het in week 3 en 4 nodig.

💡 Let op: Klok níét je eerste som. De eerste keer zoek je elke regel drie keer op en aarzel je bij het onthouden; die som duurt makkelijk twee keer zo lang als de derde. Meet daarom pas als je het ritme te pakken hebt, anders is je gemeten tijd per stap 50% tot 100% te hoog en klopt alles wat je er later mee uitrekent niet meer. Zelfs dan zit er nog 10 tot 20% verschil tussen twee sommen, gewoon omdat je de ene keer sneller kijkt dan de andere — noteer dus eerlijk je bereik, bijvoorbeeld 'tussen 7,5 en 9,5 seconden per stap'. Gaat je uitkomst mis, dan zit de fout in negen van de tien gevallen bij het onthouden: dat schrijf je in de kolom links van waar je nú staat, niet in dezelfde kolom.

Een computer kan twee kaarten vergelijken, meer niet. Sorteren is dus niets anders dan die ene handeling heel vaak herhalen. Deze week voer je twee sorteeralgoritmes met de hand uit en tel je elke vergelijking. Je ontdekt daarbij het belangrijkste getal uit de hele informatica: hoe hard het werk groeit als de stapel groter wordt.

1. 1Pak 8 speelkaarten met verschillende waarden (bijvoorbeeld harten aas t/m 8) of knip 8 kaartjes met de getallen 1 t/m 8. Schud goed en leg ze op een rij, gezicht omhoog.
2. 2Bubbelsort, doorgang 1: vergelijk kaart 1 met kaart 2. Staat de grootste rechts? Zo niet, verwissel ze. Schuif op naar kaart 2 en 3, dan 3 en 4, tot het eind. Zet bij élke vergelijking een streepje op papier en bij elke wissel een kruisje — ook als je niets verwisselt, is het een vergelijking.
3. 3Na doorgang 1 staat de grootste kaart gegarandeerd helemaal rechts. Doe doorgang 2 over de eerste 7 kaarten, doorgang 3 over de eerste 6, enzovoort, tot je er nog maar twee vergelijkt. Tel je streepjes: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 vergelijkingen.
4. 4Schud opnieuw en doe hetzelfde met 4 kaarten (dat zijn maar 6 vergelijkingen, zo gebeurd) en daarna met 16 kaarten. Voorspel elke keer eerst met de formule n × (n − 1) ÷ 2 hoeveel vergelijkingen het worden, en tel daarna of het klopt.
5. 5Doe nu selectiesort met dezelfde 8 kaarten: loop de hele rij langs en zoek de kleinste, leg die apart op een nieuwe stapel, zoek de kleinste van wat er over is, enzovoort. Turf ook hier de vergelijkingen en de verplaatsingen.
6. 6Vergelijk de twee algoritmes. Je vindt bij allebei 28 vergelijkingen voor 8 kaarten — maar bij selectiesort verplaats je maar 8 keer een kaart, terwijl bubbelsort er bij een goed geschudde stapel gemiddeld 14 verwisselt. Zelfde aantal vergelijkingen, veel minder gesleep.
7. 7Klok met de stopwatch hoe lang de bubbelsort van 8 kaarten duurt en deel door 28. Leg dat naast je tijd per stap uit week 2: waarschijnlijk gaat vergelijken een stuk sneller dan opzoeken, want twee kaarten naast elkaar houden is minder werk dan drie bits in een tabel opzoeken. Bewaar allebei de getallen.

📏 Noteer: Maak een tabel met de rijen n = 4, n = 8 en n = 16 en de kolommen: voorspeld aantal vergelijkingen (met de formule), geteld aantal vergelijkingen, aantal wissels en tijd in seconden. Schud voor n = 8 drie keer opnieuw en noteer alle drie de wisselaantallen apart. Reken tot slot uit hoeveel keer meer werk 16 kaarten kosten dan 8 kaarten — en vergelijk dat met hoeveel keer groter de stapel werd.

💡 Let op: Het turven is waar het misgaat, niet het sorteren. De grootste fout: je vergeet de vergelijkingen te tellen waarbij je níéts hoefde te verwisselen, en dan tel je in feite je wissels — gemiddeld zo'n 14 in plaats van 28. Zet je streepje dus meteen bij het kíjken, niet bij het verwisselen. Tweede valkuil: als je stopt zodra een doorgang zonder enkele wissel voorbijgaat — de slimme variant van bubbelsort — tel je 10 tot 25% minder vergelijkingen dan de formule voorspelt. Dat is geen fout, maar noteer wel welke variant je gebruikte, anders klopt je vergelijking tussen n = 8 en n = 16 niet. En verwacht geen vast wisselaantal: dat hangt volledig van je schudbeurt af en kan bij 8 kaarten alles tussen 0 en 28 zijn, met 14 als gemiddelde. Daarom schud je drie keer.

Een geheimschrift is veilig zolang het te veel stappen kost om alle sleutels te proberen. Deze week bouw je twee versleutelmachines van papier, laat je ze allebei kraken en reken je uit hoe lang het kraken zou duren. Je ziet met eigen ogen waarom het ene geheimschrift binnen vijf minuten sneuvelt en het andere niet.

1. 1Knip twee stroken papier van 3 cm hoog. Op de onderste schrijf je het alfabet twee keer achter elkaar (52 letters, netjes even breed). Op de bovenste één keer. Schuif de bovenste strook k plaatsen naar rechts: onder jouw A staat nu de letter waarmee je hem vervangt. Dit is de caesarschijf, plat gemaakt.
2. 2Versleutel met k = 3 een bericht van ongeveer 40 letters. Laat spaties en leestekens weg en schrijf de geheimtekst in blokjes van vijf letters — anders verraden de woordlengtes je meteen.
3. 3Geef de geheimtekst aan een klasgenoot, broer of ouder met alleen de mededeling 'dit is een caesar'. Zet de stopwatch aan en meet hoe lang het duurt tot ze het kraken. Vraag daarna hoeveel verschuivingen ze geprobeerd hebben.
4. 4Reken uit hoeveel sleutels er te proberen zijn: 26 verschuivingen, maar k = 0 verandert niets, dus 25 zinvolle sleutels. Deel de kraaktijd door het aantal geprobeerde sleutels: zoveel seconden kost één poging.
5. 5Bouw nu de sterke versie. Schrijf onder je bericht steeds opnieuw het sleutelwoord BREIN (B = 1, R = 17, E = 4, I = 8, N = 13) en verschuif élke letter met het getal van de sleutelletter erboven. Zo krijgt dezelfde letter E elke keer een andere geheimletter. Dit heet het vigenèrecijfer.
6. 6Reken de sleutelruimte uit: bij een sleutelwoord van 5 letters zijn er 26 × 26 × 26 × 26 × 26 = 26⁵ = 11.881.376 mogelijkheden. Geef de nieuwe geheimtekst aan dezelfde kraker en kijk hoe ver die komt in tien minuten.
7. 7Geef daarna één hint: 'de sleutel is vijf letters lang.' Nu valt het uiteen in vijf losse caesars (letter 1, 6, 11, … horen bij dezelfde sleutelletter). Kijk of het kraken dan alsnog lukt en hoe lang het duurt.
8. 8Lukt dat niet, dan ligt het niet aan de kraker maar aan je berichtlengte: bij 40 letters houdt elke sleutelletter er maar 8 over, en in 8 letters zit geen patroon te zien. Wil je dat het kraken écht kán lukken, versleutel dan een tekst van minstens 150 letters en probeer het opnieuw. Dat je bericht juist door zijn lengte kraakbaar wordt, is precies waarom dit cijfer het uiteindelijk verloren heeft.

📏 Noteer: Noteer voor allebei de geheimschriften: het aantal mogelijke sleutels, de gemeten seconden per poging, de berekende tijd om álle sleutels te proberen (in minuten, uren of jaren — kies de eenheid die leesbaar is) en of het kraken echt gelukt is. Reken daarna uit hoe lang een computer die 1 miljard sleutels per seconde probeert over jouw vigenèresleutel zou doen.

💡 Let op: Als de kraker vastloopt, is de kans groot dat de fout bij jóú zit. Eén verkeerd verschoven letter — vooral rond de Z, waar je weer bij A moet beginnen — maakt de tekst onkraakbaar op de verkeerde manier. Versleutel daarom eerst je eigen tekst, ontcijfer hem daarna zelf terug en controleer of je je oorspronkelijke bericht terugkrijgt vóórdat je hem weggeeft. Verwacht verder geen strakke meting van de kraaktijd: de één probeert systematisch k = 1, 2, 3 … en de ander gokt meteen goed omdat hij een kort woordje herkent. Meet daarom bij twee of drie verschillende mensen en noteer het bereik in plaats van één getal; verschillen van een factor 3 zijn hier normaal.